確率論・数理統計

社会でどう使われるか

大学レベルの確率統計は、AIの理論的基盤・金融デリバティブの価格決定・医薬品開発の根幹。古典的統計学とベイズ統計学の両方を学ぶことで、データから「確信」を生み出す力を得る。

たくさん集めると、ばらつきは決まった形（正規分布）に落ち着きます。この性質があるから、一部を調べただけで全体を推測できます。

確率変数と期待値

確率変数 X の期待値は「長期的な平均」。連続型の場合は確率密度関数 f(x) を使った積分で求める。

中心極限定理

どんな分布からのサンプルでも、サンプル平均は n が大きくなると正規分布に収束する。これが「世の中の多くの現象が正規分布になる」理由。統計的推論の理論的根拠。

最尤推定（MLE）

観測データを「最も説明しやすいパラメータ」を探す手法。機械学習モデルの学習は多くの場合、対数尤度の最大化（＝損失関数の最小化）として定式化される。

ベイズ更新

事前分布 p(θ) に証拠 x を反映して事後分布 p(θ|x) を得る。Aがθでありxが観測された場合の確率更新。スパムフィルター・医療診断・リコメンドエンジンで使われる。

モンテカルロ法

積分が解析的に解けないとき、ランダムサンプリングで近似する。π の計算から金融デリバティブの価格推定、ベイズ推論まで幅広く使われる。「乱数の力で数学の難問を解く」方法。

サイコロ2個の和は、真ん中が出やすい

1個なら平ら。2個足すだけで山ができる。足す数を増やすほど、正規分布に近づく（中心極限定理）。

統計学者（アカデミア・研究機関）¥850万

クオンツアナリスト（金融工学）¥1500万

機械学習リサーチャー¥1600万