微分積分学

社会でどう使われるか

ニュートンとライプニッツが17世紀に発明した微積分は、300年後の機械学習でも主役だ。偏微分は「どのパラメータを調整すれば損失が最も減るか」を教えてくれる——それが誤差逆伝播法（バックプロパゲーション）の本質。重積分は確率分布の計算・物理学の法則記述・画像処理に使われる。テイラー展開はGPS・スマートフォン・コンピュータの浮動小数点計算の根幹だ。

要点

偏微分

多変数関数 f(x,y) を x だけで微分（y を定数扱い）したものを x についての偏微分 ∂f/∂x という。勾配ベクトル ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。

偏微分の計算例

f(x,y) = x²y + 3y² のとき ∂f/∂x = 2xy（y は定数）、∂f/∂y = x² + 6y（x は定数）。

テイラー展開

関数 f(x) を x=a の周りで多項式で近似する。sin x ≈ x − x³/6 + x⁵/120 など、コンピュータの関数計算に使われる。

重積分

2変数関数の積分 ∬f(x,y)dxdy は領域上の体積・確率・質量を求める。くり返し積分で計算する。

勾配降下法（機械学習）

損失関数 L(w) の w を「勾配の逆方向に少しずつ更新」するのが勾配降下法。w := w − η・∂L/∂w。η は学習率。

この単元を使う職業

AIエンジニア（ディープラーニング）¥1500万

航空宇宙エンジニア¥1200万

金融クオンツ（デリバティブ）¥2000万

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