数列 — PaperLens

社会でどう使われるか

「元本100万円を年利5%で10年後いくら？」——これは等比数列。「毎月3万円ずつ貯金すると何ヶ月後に100万円？」——これは等差数列。複利の力・ウイルスや情報の拡散速度・ローンの元本残高——すべては数列のモデルで予測できる。フィボナッチ数列は株式チャート分析・花の花びら・貝殻の螺旋にも現れる自然界の基本パターンだ。

まず、やさしく

数列は、数の並びの規則を見つけて、n 番目を式で表すものです。等差数列は一定ずつ増え、等比数列は一定倍ずつ増えます。

要点

等差数列

隣り合う2項の差が常に一定（d: 公差）の数列。一般項 a_n = a_1 + (n−1)d。

等比数列

隣り合う2項の比が常に一定（r: 公比）の数列。一般項 a_n = a_1 × r^{n−1}。

等差数列の和

初項 a_1、末項 l、項数 n の等差数列の和 S_n = n(a_1 + l)/2。

等比数列の和

初項 a_1、公比 r (r≠1)、項数 n の等比数列の和 S_n = a_1(1−r^n)/(1−r)。

複利計算への応用

元本 P、年利 r で n 年後の金額は等比数列 → P × (1+r)^n。100万円を年利5%で10年運用すると約163万円。

図で見る

等差（+3ずつ）と等比（×2ずつ）

等差数列 2, 5, 8, 11, 14 は棒の頭が一直線に並ぶ。

等比数列 2, 4, 8, 16, 32

こちらは加速する。複利や感染の広がりがこの形。

この単元を使う職業

ファイナンシャルアナリスト¥1200万

グロースエンジニア（スタートアップ）¥1000万

アルゴリズムエンジニア¥1300万

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