指数・対数関数

社会でどう使われるか

お金が「倍々」に増える複利計算、ウイルスの感染拡大、地震のマグニチュード――これらはすべて指数・対数で表現される。自然界と金融の「急激な変化」を制御するための道具。

指数は「かけ算のくり返し」。1日で2倍になるものは、10日で1024倍です。人の直感は、この増え方をいつも見誤ります。

指数関数

y = aˣ の形。a > 1 なら急激に増加（指数的成長）。0 < a < 1 なら急激に減少（指数的減衰）。複利でお金を運用するとこの形に成長する。

指数法則

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ。これを使って複雑な計算を簡略化できる。

対数の定義

aˣ = N のとき x = log_a(N)。「aを何乗するとNになるか」を表す。

対数の性質

積→和、商→差、べき乗→係数に変換できる。これで掛け算を足し算に変える（計算を劇的に簡単にする）。

自然対数と e

e ≈ 2.718...（ネイピア数）は自然界の成長・減衰に現れる特別な定数。ln(x) = log_e(x) は微分積分・物理・金融で最重要。連続複利もeで表される（A = Pe^(rt)）。

直線的な増加と、指数的な増加

最初は直線のほうが上。x = 6 あたりで追い抜かれ、あとは差が開く一方になる。

ファイナンシャルプランナー¥600万

機械学習エンジニア¥1000万

疫学者¥750万