二次関数

社会でどう使われるか

価格を上げると客が減り、下げると利益が減る。この「ちょうどいい価格」を求めるのが二次関数の頂点。経済学・工学・物理で毎日使われている。

二次関数は、頂点の位置と開き方の2つで決まります。平方完成は、その頂点を式から読み取るための書き換えです。

二次関数とは

y = ax² + bx + c の形で表される関数。aが正なら下に凸（U字）、負なら上に凸（∩字）のグラフになる。頂点が最小値または最大値を与える。

標準形（頂点形式）

y = a(x - p)² + q の形に変換すると、頂点が (p, q) とすぐわかる。これを平方完成という。

頂点のx座標

y = ax² + bx + c における頂点のx座標は -b/(2a)。ここで最大・最小値をとる。

ビジネスへの応用

商品価格 x 円のとき売上 y = -2x² + 1000x とすると、頂点 x = 250 が最大売上価格。実際の価格戦略はこのモデルから始まる。

判別式

y = 0 の解（x軸との交点）の個数は判別式 D = b² - 4ac で決まる。D > 0 なら2点、D = 0 なら1点、D < 0 なら交点なし。

y = x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1

平方完成すると (x − 2)² + 1。括弧の中が0になる x = 2 が頂点。

データサイエンティスト¥800万

製品価格戦略マネージャー¥900万

ゲームフィジクスエンジニア¥750万