場合の数と確率

社会でどう使われるか

「5人からリーダーと副リーダーを選ぶ方法は何通り？」——これが順列。「5人から2人を選ぶ委員会は？」——これが組み合わせ。ゲームの乱数生成・保険料の計算・がんの生存率推定・機械学習モデルのハイパーパラメータ選択まで、場合の数と確率は現代社会のあらゆる不確実性を数値化する言語だ。

場合の数は、ていねいに数えあげる技術です。順番を区別するのが順列、区別しないのが組合せ。まずは樹形図で、何を数えているかをはっきりさせます。

順列（Permutation）

n 個の中から r 個を順序を考えて選ぶ方法の数。nPr = n!/(n−r)!。

組み合わせ（Combination）

n 個の中から r 個を順序を考えずに選ぶ方法の数。nCr = n!/(r!(n−r)!)。

確率の基本

同様に確からしいとき、確率 P = (求める場合の数) / (全体の場合の数)。0 ≤ P ≤ 1。

加法定理（排反事象）

同時に起こりえない2事象 A, B について P(A∪B) = P(A) + P(B)。一般に P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。

余事象を使う

「少なくとも1回成功する確率」は「1 − すべて失敗する確率」で求めると楽。

3人から2人を選んで並べる（順列 3P2 = 6通り）

順番を区別しなければ AB と BA は同じ。組合せ 3C2 = 3通りになる。

アクチュアリー（保険数理士）¥1500万

ゲームデザイナー¥700万

AI研究者（確率的モデル）¥1500万